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『素数 Prime判定和线性欧拉筛法 The sieve of Euler』

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  • 2019-06-30
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简介素数(Prime)及判定定义素数又称质数,一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做质数,否则称为合数。1既不是素数也不是合数。判定如何判定一个数是否是素数呢?显


素数(Prime)及判定

定义

素数又称质数,一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做质数,否则称为合数。

1既不是素数也不是合数。

判定

如何判定一个数是否是素数呢?显然,我们可以枚举这个数的因数,如果存在除了它本身和1以外的因数,那么这个数就是素数。在枚举时,有一个很简单的优化:一个合数(n)必有一个小于等于(sqrt{n})的因数证明如下:假设一个合数(n)没有小于等于(sqrt{n})的因数。由于(n)为合数,所以除了(n)(1)以外,它至少还有两个因数(p_1(p_1>sqrt{n}))(p_2(p_2>sqrt{n})),满足(p_1p_2=n)(p_1>sqrt{n},p_2>sqrt{n})矛盾,故假设不成立。

所以我们得到了(O(sqrt n))效率的素数判定算法。

(Code:)

inline bool check(k){ for(int i=2;i*i<=k;i++) if(k%i==0)return 0; return 1;}

筛法(Sieve)求素数

现在有一个新的问题模型,如果我们需要求解(1-n)的所有素数,那么直接用判定法效率显然太低了。我们需要更高效率的算法,由此我们引入筛法。

埃氏筛法(The sieve of Eratosthenes)

这是筛法思想的基本模型。根据算数基本定理,我们得知:[k=p_1^{a_1}·p_2^{a_2}·...·p_k^{a_k}]即任意一个数(k)都是由若干素数相乘得到的。那么我们可以枚举(2-n)的每一个数,如果这个数没被标记,则说明这个数是素数,记录这个数,并标记这个数的所有倍数不是素数。那么这样就可以求解(1-n)的所有素数了。时间复杂度为(O(n ln(ln n)))

实现

这就是OI竞赛中最常用的素数求解算法了,实现也非常简单。

(Code:)

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int cnt=0,n,flag[100080]={},Prime[100080]={};inline void sieve(void){ for(int i=2;i<=n;i++) { if(!flag[i])Prime[++cnt]=i;else continue; for(int j=i*2;j<=n;j+=i)flag[j]=true; }}int main(void){ cin>>n; sieve(); for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<Prime[i]<<" "; cout<<endl;}

欧拉筛法(The sieve of Euler)

欧拉筛法就是基于埃氏筛法的优化。在模拟埃氏筛法的过程中,我们不难发现有很多合数会被它的各个素因子筛好几次,我们可以基于这种情况进行优化:每个合数必有一个最小素因子,用这个因子筛掉合数所以,我们直接利用之前求出的素数进行筛数,如果发现当前这个数已经是之前某个素数的倍数时,那就说明这个数在以后会由某个更大的数乘以这个小素数筛去,同理,之后的筛数也是没有必要的,这时候就可以跳出循环了。这样,我们就能保证每一个数只被筛一次,就实现了线性时间复杂度的筛法。

实现

欧拉筛法和埃氏筛法大体相似,但细节有所不同,注意不要搞混。

(Code:)

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int cnt=0,n,flag[100080]={},Prime[100080]={};inline void seive(void){ for(int i=2;i<=n;i++) { if(!flag[i])Prime[++cnt]=i; //注意,这里没了continue,因为在筛某个数时需要用到它的最大因数,而这个数可能是个合数,所以不管是素数还是合数,都要执行以下的筛数过程 for(int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++) { flag[i*Prime[j]]=1; if(i%Prime[j]==0)break; } }}int main(void){ cin>>n; seive(); for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<Prime[i]<<" "; cout<<endl;}


, 1, 0, 9);

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